Aire et intégrale

Définition

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
Soit \(f\) une fonction positive sur l'intervalle \([a~;~b]\) et \(\mathcal C\) sa courbe représentative.
Dans un repère orthogonal du plan, l'aire du domaine délimité par \(\mathcal C\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=a\) et \(x=b\) est appelée aire sous la courbe représentative de \(f\) entre \(a\) et \(b\).

Définition

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
Soit \(f\) une fonction positive sur l'intervalle \([a~;~b]\). 
Soit \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal \(\left(\text O~;\vec{i},\vec{j}\right)\).
L'aire sous la courbe \(\mathcal C\) entre \(a\) et \(b\), exprimée en unités d'aire, est appelé intégrale de \(f\) sur \([a~;~b]\) et se note \(\boxed{\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x}\). 
Elle se lit « intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f(x)\text dx\) ».

Exemples

1. La fonction carré étant positive sur \(\mathbb R\), dans un repère orthogonal du plan, l'aire sous la courbe de la fonction carré entre \(1\) et \(4\) est, en unités d'aire, \(\displaystyle \int_1^4 x^2\ \text d x\) .
2. La fonction cube étant positive pour tout réel positif, dans un repère orthogonal du plan, l'intégrale \(\displaystyle \int_{0}^\sqrt 5 x^3\ \text d x\) représente l'aire sous la courbe de la fonction cube entre \(0\) et \(\sqrt 5\) , en unités d'aire.